有限数学示例

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

解题步骤 1

将 $7^{- x}$ 重写为乘方形式。

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $7^{x}$ 。

$u + u^{- 1} = 50$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + \frac{1}{u} = 50$

解题步骤 4

求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 4.2

将 $u + \frac{1}{u} = 50$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $u + \frac{1}{u} = 50$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

约去公因数。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

重写表达式。

$u^{2} + 1 = 50 u$

解题步骤 4.3

求解方程。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $50 u$ 。

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

解题步骤 4.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.3.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 50$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.4.1.1

对 $- 50$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.1.3

从 $2500$ 中减去 $4$ 。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.1.4

将 $2496$ 重写为 $8^{2} \cdot 39$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.4.1

从 $2496$ 中分解出因数 $64$ 。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.1.4.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

解题步骤 4.3.4.3

化简 $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ 。

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

解题步骤 4.3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

解题步骤 5

代入 $25 + 4 \sqrt{39}$ 替换 $u = 7^{x}$ 中的 $u$ 。

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

解题步骤 6

求解 $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ 。

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

解题步骤 6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

解题步骤 6.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{x})$ 。

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

解题步骤 6.4

将 $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ 中的每一项除以 $\ln (7)$ 并化简。

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解题步骤 6.4.1

将 $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ 中的每一项都除以 $\ln (7)$ 。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 6.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 7

代入 $25 - 4 \sqrt{39}$ 替换 $u = 7^{x}$ 中的 $u$ 。

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

解题步骤 8

求解 $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ 。

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

解题步骤 8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

解题步骤 8.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{x})$ 。

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

解题步骤 8.4

将 $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ 中的每一项除以 $\ln (7)$ 并化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ 中的每一项都除以 $\ln (7)$ 。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 8.4.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.1

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 8.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 9

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

小数形式：

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$

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